OpenAI заявила о прорыве в классической математической задаче Пола Эрдеша о единичных расстояниях.
В 1946 году Эрдеш представил следующую гипотезу: если на плоскости разместить n точек, сколько пар точек могут находиться ровно на расстоянии не меньше, чем n1-δ(1).
Она считается одной из самых известных задач комбинаторной геометрии: формулируется просто, но десятилетиями не поддавалась решению.
OpenAI заявила, что ее внутренняя модель опровергла давнюю гипотезу в дискретной геометрии. Она опубликовала отдельный материал с описанием результата и ссылками на доказательства и сопроводительные замечания.
Модель нашла бесконечное семейство примеров, которое дает полиномиальное улучшение по сравнению с конструкциями, считавшимися близкими к оптимальным.
В работе показано существование константы δ > 0 и бесконечно многих значений n, для которых можно построить конфигурации из n точек с как минимум n1+δ парами на расстоянии 1.
Ранее лучшая известная конструкция, основанная на масштабированной квадратной решетке, давала примерно n(1 + C / log(log
)) единичных расстояний. Это лишь немного быстрее линейного роста: поскольку log(log) увеличивается вместе с n, дополнительный показатель C / log(log) постепенно стремится к нулю.При этом решение пришло не из самой геометрии, а из алгебраической теории чисел. Вместо классических гауссовых целых чисел вида z = a + bi, где a и b — целые числа (включая ноль), а i — мнимая единица, модель использовала более сложные числовые поля с богатыми симметриями.
В доказательстве применяются такие инструменты, как бесконечные башни полей классов и теорема Голода–Шафаревича. Для специалистов по теории чисел это известные методы, но их связь с элементарной геометрической задачей оказалась неожиданной.
Независимый аудит
В OpenAI заявили, что доказательство проверила группа внешних математиков. Компания также подчеркнула, что результат получила не узкоспециализированная математическая система, а рассуждающая модель общего назначения.
По словам стартапа, работа была частью более широкой проверки того, способны ли продвинутые нейросети вносить вклад в передовые научные исследования.
В материале OpenAI приводятся оценки нескольких математиков. В частности, филдсовский лауреат Тимоти Гауэрс назвал результат «вехой для ИИ в математике». Там же приводятся слова математика из Университета Торонто Арула Шанкара, который заявил, что нынешние модели способны не только помогать, но и предлагать оригинальные идеи и доводить их до результата.
Напомним, в феврале подразделение Google DeepMind представило ИИ-агента Aletheia, который установил новый рекорд в бенчмарке IMO-ProofBench Advanced.